上海虹口区2023-2024学年高三下学期二模考试 数学(含参考答案)

虹口区 2023 学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试 高三数学试卷 2024.4 考生注意： 1. 本试卷共 4 页， 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟， 2. 本考试分设试卷和答题纸 . 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分 . 一､填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 . 1. 已知 ，则 ________ ； 2. 已知球 表面积为 ,则该球的体积为 ______ . 3. 过抛物线 焦点的弦 的中点横坐标为 ，则弦 的长度为 __________ . 4. 已知集合 ，则 __________ . 5. 已知随机变量 ，且 ，则 __________ . 6. 3 个男孩和 3 个女孩站成一排做游戏， 3 个女孩不相邻 站法种数为 __________ . 7. 已知一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则这个三角形外接圆的直径为 __________ . 8. 已知等比数列 是严格减数列，其前 项和为 ，若 成等差数列，则 __________ . 9. 已知平面向量 满足 ，若平面向量 满足 ，则 的最大值为 __________ . 10. 从某个角度观察篮球（如图 1 ），可以得到一个对称的平面图形，如图 2 所示，篮球的外轮廓为圆 O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等分，且 ，则该双曲线的离心率为 __________ ． 11. 如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形，且 . 若 ，点 为棱 的中点，点 在 上，则线段 的长度和的最小值为 __________ . 12. 已知关于 的不等式 对任意 均成立，则实数 的取值范围为 __________ . 二 ､ 多选题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑 . 13. 欧拉公式 把自然对数的底数 ，虚数单位 ，三角函数 和 联系在一起，被誉为 “ 数学的天桥 ”. 若复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 14. 设 ，将函数 的图像沿 轴向右平移 个单位，得到函数 的图像，则（ ） A. 函数 是偶函数 B. 函数 的图像关于直线 对称 C. 函数 在 上是严格增函数 D. 函数 在 上 值域为 15. 给出下列 4 个命题： ① 若事件 和事件 互斥，则 ； ② 数据 的第 百分位数为 10 ； ③ 已知 关于 的回归方程为 ，则样本点 的离差为 ； ④ 随机变量 的分布为 ，则其数学期望 . 其中正确命题的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 16. 已知定义在 上的函数 的导数满足 ，给出两个命题： ① 对任意 ，都有 ； ② 若 的值域为 ，则对任意 都有 . 则下列判断正确的是（ ） A. ①② 都是假命题 B. ①② 都是真命题 C. ① 是假命题， ② 是真命题 D. ① 是真命题， ② 是假命题 三 ､ 解答题（本大题共 5 题，满分 78 分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤 . 17. 已知等差数列 满足 ， . （1） 求 的通项公式； （2） 设数列 前 项和为 ，且 ，若 ，求正整数 最小值 . 18. 如图，在三棱柱 中， ， 为 的中点， ， . （1） 求证： 平面 ； （2） 若 平面 ，点 在棱 上，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 . 19. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取 100 件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位： ） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 （1） 求样本质量差的平均数 ；假设零件的质量差 ，其中 ，用 作为 的近似值，求 的值； （2） 已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的 来自第 1 条生产线 . 若两条生产线的废品率分别为 0.016 和 0.012 ，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的 . 现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件 . （ i ）求抽取 零件为废品的概率； （ ii ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第 1 条生产线的概率 . 参考数据：若随机变量 ，则 . 20. 已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆 上，动直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，且直线 的斜率之积为 1. （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 若直线 为的法向量为 ，求直线 的方程； （3） 是否存在直线 ，使得 为直角三角形？若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由 . 21. 若函数 满足：对任意 ，都有 ，则称函数 具有性质 . （1） 设 ， ，分别判断 与 是否具有性质 ？并说明理由； （2） 设 函数 具有性质 ，求实数 的取值范围； （3） 已知函数 具有性质 ，且图像是一条连续曲线，若 在 上是严格增函数，求证： 是奇函数 . 虹口区 2023 学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试 高三数学试卷 2024.4 考生注意： 1. 本试卷共 4 页， 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟， 2. 本考试分设试卷和答题纸 . 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分 . 一､填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在