湖北十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考数学试题 (含参考解析)

数学试题 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它 答案标号． 回答非 选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ． 已知集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 ， 已知 i ． 为虚数单位，复数 z 满足 ，则 的虚部为 （ ） A ． B ． 1 C ． i D ． 若 ，则 （ ） 3 ． 若 tana - a 2 ， SIn 2 u - A ． B ． C ． D ． 4 ． 已知向量 ， ，满足 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 5 ． 如图， A 是平面 内一定点， B 是平面 外一定点，且 ，直线 AB 与平面 所成角为 45 °，设平面 内动点 M 到点 AB 的距离相等，则线段 AM 的长度的最小值为 （ ） A ． 4 B ． C ． 2 D ． 6 ． 的展开式中 的系数是 ，则实数 a 的值为 （ ） A ． 0 B ． 3 C ． D ． 7 ． 平面直角坐标系 xOy 中，已知点 ， 其中 ， 若圆 上存 在点 P 满足 ，则实数 a 的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 8 ． 若对于任意正数 xy ， 不等式 恒 成立 ， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分 分 ，有选错的得 0 分． 9 ． 若 ，则下列说法正确的有 （ ） A ． B ． C ． D ． 10 ． 如图所示的数阵的特点是 ： 每行每列都成等差数列，该数列一共有 n 行 n 列 ， 表示第 i 行第 j 列的数，比如 ， ， 则 （ ） 2 3 4 5 6 7 …… 3 5 7 9 11 13 …… 4 7 10 13 16 19 …… 5 9 13 17 21 25 …… 6 11 16 21 26 31 …… 7 13 19 25 31 37 …… …… …… …… …… …… …… …… A ． B ．数字 65 在这个数阵中出现的次数为 8 次 C ． D ． 这个数阵中 个数的和 11 ，用平面 截 圆柱面，圆柱的轴与平面 所成角记为 ，当 为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆 ． 著名数学家 Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论 ． 如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱面和 均相切 ． 下列结论中正确的有 （ ） A ．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B ．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 相等 C ．所得椭圆的离心率 D ． 其中 为椭圆长轴， R 为球 半径，有 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12 ． 已知函数 ，则关于 x 的不等式 的解集为 _ _____ ． 13 ． 在矩形 ABCD 中， ， ， E ， F 分别是 BC ， AD 的中点，将四边形 ABEF 沿 EF 折起使得二面角 的大小为 90 °，则三棱锥 的外接球的表面积 为 _ _____ ． 14 ． 已知在数列 中， ，数列 的前 n 和为 ， 为等差数列， ，则 _ _____ ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 ． （ 13 分 ） 在平面四边形 ABCD 中， ， ， ． （ 1 ） 求 的值 ； （ 2 ） 若 ， 求 AD 的长 ． 16 ． （ 15 分 ） 如图所示 ， 平面 平面 ABCD ， 且四边形 ACFE 是矩形 ， 在四边形 ABCD 中， ， ． （ 1 ） 若 ， 求证 平面 BDF ： （ 2 ） 若直线 BF 与平面 ABCD 所成角为 ，求平面 BED 与平面 BCF 所成 锐 二面角的余弦值 ． 17 ． （ 15 分 ） 2023 年 12 月 30 号，长征二号丙 / 远征一号 S 运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第 505 次飞行，也代表着中国航天 2023 年完美收官。某市 一 调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度 ， 随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为 n 的样本进行调查，调查结果如下表 ： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 附： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ，其中 ． （ 1 ） 完成上述列联表，依据小概率值 的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量 n 的最小值 ； （ 2 ） 该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择 ： 方案 一 ： 回答三个问题，至少答出两个可以晋级 ； 方案二 ： 在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级 ． 已知小华同学答出三个问题的概率分别是 ， ， ，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大 ？ （ 说明理由 ） 18 ． （ 17 分 ） 已知椭圆 的离心率为 ， A ， B 分别为椭圆的左顶点和上顶点， 为 左焦点，且 的面 为 ． （ 1 ） 求椭圆 M 的标准方程 ： （ 2 ） 设椭圆 M 的右顶点为 C 、 P 是椭圆 M 上