2024年高三年级第一次适应性检测
数学试题
2024
.
03
本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事
项
：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置
．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号
．
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
．
1．等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．32
B．24
C．20
D．16
2．在
的展开式中，
项的系数为
（ ）
A．1
B．10
C．40
D．80
3．已知直线
a
，
b
和平面
，
，
，则
“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．
△
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
，
，则
△
ABC
的面积为
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
5．2024年2月4日，
“龙行中华
——
甲辰龙年生肖文物大联展”
在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有
“
龙
”
的元素或图案
．
出土于鲁国故城遗址的
“
出廓双龙勾玉纹黄玉璜
”
（图1）就是这样一件珍宝
．
玉
璜璜
身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰
“
S
”
型双龙，造型精美
．
现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：
cm，
cm
，
cm
，
若
，
，则璜身（即曲边四边形
ABCD
）面积近似为
（ ）
A．
B．
C．1
D．
6．记正项等差数列
的前
n
项和为
，
，则
的最大值为
（ ）
A．9
B．16
C．25
D．50
7．
，
，
，则
的值为
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．－1
8．已知
，
，设点
P
是圆
上的点，若动点
Q
满足：
，
，则
Q
的轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9
．
袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件
A
＝
“
取出的球的数字之积为奇数
”
，事件
B
＝
“
取出的球的数字之积为偶数
”
，事件
C
＝
“
取出的球的数字之和为偶数
”
，则
A．事件
A
与
B
是互斥事件
B．事件
A
与
B
是对立事件
C．事件
B
与
C
是互斥事件
D．事件
B
与
C
相互独立
10．已知复数
z
，下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
z
为实数
B．若
，则
C．若
，则
的最大值为2
D．若
，则
z
为纯虚数
11．已知函数
，则
（ ）
A．
在区间
单调
递
增
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值
域
为
D．关于
x
的方程
在区间
有实数根，则所有根之和组成的集合为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合
，
，则
的所有元素之和为
_
_____．
13．已知
O
为坐标原点，点
F
为椭圆
的右焦点，点
A
，
B
在
C
上，
AB
的中点为
F
，
，则
C
的离心率为
_
_____．
14
．
已知球
O
的表面积为
，正四面体
ABCD
的顶点
B
，
C
，
D
均在球
O
的表面上，球心
O
为
△
BCD
的外心，棱
AB
与球面交于点
P
．若
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
且
与
之间的距离为同一定值，棱
AC
，
AD
分别与
交于点
Q
，
R
，则
△
PQR
的周长为
_
_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤
．
15．（13分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假
面
向全体学生
发出“读书好、读好书、好读书”的
号召，并开展阅读活动
．
开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0
.
0075，0
.
0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．
（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
；
（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量
的分布列与数学期望．
16．（15分）
已知函数
．
（1）若
，曲线
在点
处的切线斜率为1，求该切线的方程；
（2）讨论
的单调性
．
17．（15分）
如图，在三棱柱
中，
与
的距离为
，
，
．
（1）证明：平面
平面
ABC
；
（2）若点
N
在
棱
上，求直线
AN
与平面
所成角的正弦值的最大值．
18．（17分）
已知
O
为坐标原点，点
W
为
：
和
的公共点，
，
与直线
相切，记动点
M
的轨迹为
C
．
（1）求
C
的方程；
（2）若
，直线
与
C
交于点
A
，
B
，直线
与
C
交于点
，
，点
A
，
在第一象限，记直线
与
的交点为
G
，直线
与
的交点为
H
，线段
AB
的中点为
E
．
（
i
）证明：
G
，
E
，
H
三点共线
;
（
ii
）若
山东青岛市2024届高三下学期3月第一次适应性检测试题（一模） 数学 .docx
