广东广州市2023届高三下学期3月综合测试（一）（一模）数学(含参考答案)

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A 2023 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数 学 本试卷共 5 页､ 22 小题､满分 150 分､考试用时 120 分钟 . 注意事项： 1. 答卷前､考生务必川黑色字迹的钢笔或签字色将自己的姓名､考生号､试室号､座位号填写在答题卡上 . 用 2B 铅笔将试卷类型（ A ）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号 . 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 . 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液 . 不按以上要求作答无效 . 4. 考生必须保持答题卡的整洁 . 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 . 一 ､ 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ，则集合 的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 3. 函数 在 上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 为第一象限角 . ，则 （ ） A. B. C. D. 5. “ 回文 ” 是古今中外都有的一种修辞手法，如 “ 我为人人，人人为我 ” 等，数学上具有这样特征的一类数称为 “ 回文数 ” ､ “ 回文数 ” 是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 121 ， 241142 等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的 “ 回文数 ” 共有（ ） A. 100 个 B. 125 个 C. 225 个 D. 250 个 6. 已知抛物线 顶点为坐标原点 ，焦点 任 铀上，过点 的且线交 于 两点，且 ，线段 的中点为 ，则直线 的斜率的取大值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ， ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 均为正实数， 为自然对数的底数，若 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二 ､ 多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 某校随机抽取了 100 名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位： kg ）全部介于 45 至 70 之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 频率分布直方图中 a 的值为 0.07 B. 这 100 名学生中体重低于 60kg 的人数为 60 C. 据此可以估计该校学生体重的第 78 百分位数约为 62 D. 据此可以估计该校学生体重的平均数约为 62.5 10. 已知函数 的图像关于直线 对称，则（ ） A. 函数 的图像关于点 对称 B. 函数 在 有且仅有 2 个极值点 C. 若 ，则 的最小值为 D. 若 ，则 11. 已知函数 ，点 分別在函数 的 的图像上， 为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若关于 的方程 在 上无解，则 B. 存在 关于直线 对称 C. 若存在 关于 轴对称，则 D. 若存在 满足 ，则 12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 中， ， ，动点 P 满足 ，则下列结论正确的是（ ） A. 点 的横坐标的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是 三 ､ 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知向量 与 共线，则 __________ . 14. 已知 ，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新数列 ，则 __________ . 15. 已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 . ，则关于 x 的不等式 的解集为 __________ . 16. 在棱长为 1 正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面 上的动点 . 且 平面 ，则点 的轨迹长为 __________ . 点 到直线 的距离的最小值为 __________ . 四 ､ 解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明 . 证明过程或演算步骤 . 17. 已知数列 前 项和为 ，且 （1） 求 ，并证明数列 是等差数列： （2） 若 ，求正整数 的所有取值 . 18. 记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 . 已知 . （1） 证明： ； （2） 若 ， ，求 的面积 . 19. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中， △ PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， （1） 求证： ； （2） 求平面 PAB 与平面 ABCD 交角的正弦值 . 20. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第 1 次答题，答对得 20 分，答错得 10 分：从第 2 次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得 10 分 . 学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为 ，各次答题结果互不影响 . （1） 求甲前 3 次答题得分之和为 40 分 概率； （2） 记甲第 i 次答题所得分数 的数学期望为 . ①写出