河北石家庄市第二中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题(含参考答案)

2020级高三下学期开学考试数学试卷 （时间：120分钟，分值：150分） 一 ､单选题 （共8题，每题5分，共40分.） 1.已知集合 ，则 中元素的个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 2.已知 （ 是虚数单位）是关于 的方程 的一个根，则 （ ） A. B. C. D. 3.已知 的夹角为 ，则 在 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4.已知函数 的局部图象如图所示，则 的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5.已知正四面体 的内切球的表面积为 ，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 ，则所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 6.已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量 X 表示摸球8次后的总分值，则 （ ） A.16 B. C. D.8 7.已知 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8.已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆交于 ，过点 的直线 与椭圆交于 ，且满足 ，设 和 的中点分别为 ，若四边形 为矩形，且面积为 ，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二 ､ 多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分.） 9.投掷一枚质地均匀的骰子，事件 A =“朝上一面点数为奇数”，事件 B =“朝上一面点数不超过2"，则下列结论正确的为（ ） A.事件 互斥 B.事件 相互独立 C. D. 10.已知数列 为等比数列，首项 ，公比 ，则下列结论正确的为（ ） A. 的最大项为 B. 的最小项为 C. 为递增数列 D. 为递增数列 11.已知 为圆锥 底面圆 的直径（ 为顶点， 为圆心），点 为圆 上异于 的动点， ，则下列结论正确的为（ ） A.圆锥 的侧面积为 B. 的取值范围为 C.若 为线段 上的动点，则 D.过该圆锥顶点 的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 12.已知 是 的导函数， ，则下列结论正确的为（ ） A. 与 的图象关于直线 对称 B. 与 有相同的最大值 C.将 图象上所有的点向右平移 个单位长度可得 的图象 D.当 时， 与 都在区间 上单调递增 三 、 填空题（共4题，每题5分，共20分.） 13. 的展开式中， 的系数为__________.（用数字作答） 14.某省示范性高中安排5名教师去 三所乡村中学支教，每所中学至少去1人，因工作需要，其中的教师甲不能去 中学，则分配方案的种数为__________. 15.已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，离心率为 ，动点 在双曲线 的右支上且不与右顶点重合，若 恒成立，则双曲线 的渐近线方程为__________. 16.已知 ，若过点 的动直线 与 有三个不同交点，自左向右分别为 ，则线段 的中点纵坐标的取值范围为__________. 四 ､ 解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分.） 17. （1 0 分） 在 中， a ､ b ， c 分别是角 A ､ B ､ C 的对边，且 . （ 1 ）求角 A 的大小； （ 2 ）若 是方程 的一个根，求 的值. 18. （12分） 某中药企业计划种植 两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据 . 药材 的亩产量约为 300 公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表： 年份 2018 2019 2010 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 单价 （元 / 公斤） 18 20 23 25 29 药材 的收购价格始终为 20 元 / 公斤，其亩产量的频率分布直方图如下： （1） 若药材 的单价 （单位：元 / 公斤）与年份编号 间具有线性相关关系；请求出 关于 的回归直线方程，并估计 2024 年药材 A 的单价； （2） 利用上述频率分布直方图估计药材 B 的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）； （3） 若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断 2024 年该药企应当种植药材 A 还是药材 B ？并说明理由 . 参考公式：回归直线方程 ，其中 . 19. （12分） 已知数列 的前 项和 满足 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 20. （12分） 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， 是 上的点. （1）若 平面 ，求 的值： （2）若 是 的中点，且二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 21. （12分） 设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 A ， 两点，点 A 在第二象限，当 在 上时， A 与 的横坐标和为 . （1）求抛物线 的方程； （2）过 作斜率为 的直线与 轴交于点 ，与直线 交于点 （ 为坐标原点），求 . 22. （12分） 已知函数 . （1） 讨论 的单调性； （2） 当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围 . 数学参考答案 一 ､ 单选题 1.C 2.A 3.C 4.D 5.B 6.A 7.B 8.D 二 ､ 多选题 9.BD 10.ABC 11.AC 12.BC 三 ､ 填空题 13.30 14.100 15. 16. 四 ､ 解答题 17. （ 1 ）∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 又∵三角形内角 ， ∴ ； （2） 等价于 ，解得 或 ； ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ . 18. （1） ，故回归直线方程为 ， 当 时， ，从而 2024 年药材 A 的单价预计为 元 / 公斤 . （2