江西省2023-2024学年高三下学期4月联考数学试题
试卷共4页,19小题,满分150分
考试用时120分钟
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,则
A.
B.
C.
D.
2.已知
,且
为纯虚数,则
在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.在平行四边形
ABCD
中,
,设
,则
A.
B.
C.
D.
4.2024年春晚魔术师刘谦再次重返舞台,利用简单的模具扑克牌向观众再次展示了魔术的魅力与神奇.某魔术师在表演时将8张不同色号的扑克牌分给3名观众,每个观众被分到的扑克牌数目不少于2张,且3名观众中没有人被分到3张扑克牌,则不同的分配方法有
A.2520种
B.1260种
C.420种
D.210种
5.古建筑是中华传统文化的重要载体,其结构及功能更是展示了我国古代劳动人民智慧的结晶,其中古建筑屋顶的构造更是最富艺术魅力的部分.湖南岳阳楼屋顶的设计有助于在暴雨等恶劣天气下雨水的及时快速排出.如下图,分别以
为
轴正方向建立平面直角坐标系,
两点间的屋顶剖面曲线可近似看成函数
的图象,利用数学建模的方法,则下列函数模型与所给曲线拟合程度最高的为
A.
B.
C.
D.
6.设函数
在
上有且仅有1个极值点和1个零点,
,则
A.
B.
C.
D.
7.已知抛物线
的准线为
,过焦点
的直线交
于
两点,
于
,点
在线段
AH
的中垂线上,
为坐标原点,则
的面积为
A.
B.
C.
D.
8.已知体积相等的两个圆锥的半径分别为
,表面积分别为
,若
,则
的取值范围为
A.
B.
C.
D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.土壤是自然界中最大的生态系统,具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作,若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中,重金属含量
(单位:
与时间
(单位:
)满足关系式
,已知处理
后,重金属含量减少
,则
)
A.
表示未经处理时土壤中的重金属含量
B.
的值为
C.使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约
D.函数
为减函数
10.已知数列
的前
项和为
,等差数列
的公差为
,且
,则
A.若
,则
B.若
,则
为递减数列
C.若
,则
D.若
,则
11.已知
的定义域为
,若
的图象关于直线
对称,且
为奇函数,则
A.
B.
C.
D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.
___________.
13.已知圆
和
,则圆
与圆
的所有公切线中斜率的最大值为___________.
14.已知
为坐标原点,直线
与离心率为
的双曲线
的左、右两支分别交于
两点,与
的渐近线交于
分别在
的左侧）两点，且
,则当|
OD
|最小时,
___________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)党的二十大报告提出:“全方位夯实粮食安全根基,牢牢守住十八亿亩耕地红线,确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中.”粮食事关国运民生,粮食安全是“国之大者”,与社会和谐、政治稳定、经济持续发展等息息相关,粮稳则天下安.现有某品种杂交水稻,从中随机抽取15株作为样本进行观测,并记录每株水稻的生长周期(单位:天),按从小到大排序结果如下:
93 97 98 101 103 104 107 108 109 110 112 116 121 124 126
已知这组样本数据的
分位数、
分位数分别为
.
(
1)求
；
(
2)在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间
的稻株记为“高产稻株”,其余记为“低产稻株”.现从该品种水稻中随机抽取3株,设其中高产稻株有
株,求
的分布列与数学期望(以样本中高产稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概率).
16.(15分)已知函数
.
(1)若
,求曲线
在
处的切线方程;
(2)若
,讨论
的单调性.
17.(15分)如图,在三棱锥
中,
是等边三角形,
,点
在
BC
上,
平面
PAD
.
(1)证明：
平面
PBC
；
(2)求二面角
的余弦值.
18.(17分)已知椭圆
的上、下顶点分别为
椭圆
上的点到直线
的距离和其与
的左焦点的距离之比始终为
为
上一点,直线
分别交
于
记
,
的面积分别为
.
(1)求
;
(2)若
和
的横坐标异号,
,求
的面积.
19.(17分)定义:若对任意
,数列
的第
项都等于数列
的第
项,则称数列
为数列
的“
分段反序数列”.如:令
,当
时,
,则
,所以
.已知数列
的“
分段反序数列”为
,数列
的前
项和为
.
(1)若
,直接写出
的值;
(2)若
,求
;
(3)若
,证明:数列
为常数列.
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