山西朔州市2022-2023学年高三下学期2月月考试题 数学 (含参考解析)

绝密★启用前（新高考卷） 数学试卷 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需 改动， 用 橡 皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1 ．已知集合 ， ，则 A ． B ． C ． D ． 2 ．已知复数 ， 满足 ， ，则 A ． B ． C ． D ． 6 3 ．已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从 A 点处开始带球沿正北方向行进 16 米到达 B 处，再转向北偏东 60 ° 方向行进了 24 米到达 C 处，然后起脚射门，则 A ， C 两点的距离为 A ． 米 B ． 米 C ． 32 米 D ． 米 4 ．已知抛物线 C ： 的焦点为 F ，准线为 l ，点 在 C 上，过 P 作 l 的垂线，垂足为 O ，若 （ O 为原点），则 F 到 l 的距离为 A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 6 5 ．有一个棱柱形状的石料，底面是边长为 6 的等边三角形，该石料侧棱垂直于底面，若可以将该石料打磨成四个半径为 的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为 A ． B ． C ． D ． 6 ．已知向量 ， ，其中 ．若 ，则 A ． B ． C ． D ． 7 ．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为 3 ，方差为 5 ，乙组数据的平均数为 5 ，方差为 3 ．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 A ． 3 . 5 B ． 4 C ． 4 . 5 D ． 5 8 ．已知椭圆 M ： 的上顶点为 A ，过点 A 且不与 y 轴重合的直线 l 与 M 的另一个交点为 （其中 ），过 B 作 l 的垂线，交 y 轴于点 C ．若 ，则 l 的斜率 k = A ． B ． C ． D ． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9 ．已知等比数列 的公比为 ，前 n 项积为 ，若 ，则 A ． B ． C ． D ． 10 ．已知函数 的图象关于点 对称，且存在 ，使得 在 上单调递增，则下列选项正确的是 A ． 的最小正周期 B ． 在 上单调递增 C ．函数 的图象不可能关于点 对称 D ．函数 在 内不存在极值点 11 ．已知椭圆 C ： 的左、右焦点分别为 ， ， 直线 与椭圆 C 交于 A ， B 两点（其中 A 在 B 的左侧），记 面积为 S ，则 A ． B ． 时， C ． S 的最大值为 D ． 当 时， 12 ．已知函数 ，则下列说法正确的是 A ． 若 在 R 上单调递增，则 B ． 若 ，设 的解集为 ，则 C ． 若 有两个极值点 ， ，且 ，则 D ． 若 ，则过 仅能做曲线 的一条切线 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ． A ， B 两篮球运动员在球衣号分别为 6 ， 8 ， 9 ， 18 的四件球衣中各随机选一件，则 A 选的是偶数号球衣的不同选法共有 种． 14 ．已知直线 过定点 ，则 的最小值为 ． 15 ．若在圆 C ： 上存在一点 P ，使得过点 P 作圆 M ： 的切线长为 ，则 r 的取值范围为 ． 16 ．若曲线 与曲线 存在公切线，则 a 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 ．（ 10 分） 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 ，且△ ABC 的周长为 6 ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）求△ ABC 面积的最大值． 18 ．（ 12 分） 已知数列 各项均为正数， ， ，且 ． （ 1 ）若 ，求 的前 n 项和 ； （ 2 ）若 为等比数列，且 不为等比数列，求 的值． 19 ．（ 12 分） 一对夫要计划进行为期 60 天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆，且约定：①在任意一天的旅途中，全天只由其中一人驾车，另一人休息；②若前一天由丈夫驾车，则下一天继续由丈夫驾车的概率为 ，由妻子驾车的概率为 ；③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为 ． （ 1 ）求在刚开始的三天中，妻子驾车天数的概率分布列和数学期望； （ 2 ）设在第 n 天时，由丈夫驾车的概率为 ，求数列 的通项公式． 20 ．（ 12 分） 如图，在三棱锥 P - ABC 中，平面 PAB ⊥平面 ABC ， ， ， ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）求二面角 A - PC - B 的余弦值． 21 ．（ 12 分） 已知双曲线 C ： 的焦距为 8 ．过左焦点 F 的直线与 C 的左半支交于 A ， B 两点，过 A ， B 作直线 l ： 的垂线，垂足分别为 M ， N ，且当 AB 垂直于 x 轴时， ． （ 1 ）求 C 的标准方程； （ 2 ）设点 ，判断是否存在 ，使得 为定值？若存在，求出 t 的值 ； 若不存在，说明理由． 22 ．（ 12 分） 设函数 ，其中 ， ． （ 1 ）若 ，且 在区间 单调递减，在区间 单调递增，求 t 的最小值： （ 2 ）证明：对任意正数 a ， b ， 仅存在唯一零点． 绝密★启用前（新高考卷） 数学参考答案 1 ．【答案】 A 【解析】易知