3.2.2
奇偶性
【学习目标】
课程标准
学科素养
1
、
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义
(
难点
).
2
、
掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系
(
重点
).
3
、
会利用函数的奇偶性解决简单问题
(
重点
).
1
、
数学抽象
2
、数学
运算
3
、直观想象
【自主学习】
1
、
函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
f
(
x
)
的定义域内任意一个
x
，都有
，那么函数
f
(
x
)
是偶函数
关于
对称
奇函数
如果对于函数
f
(
x
)
的定义域内任意一个
x
，都有
，那么函数
f
(
x
)
是奇函数
关于
对称
注意：
（
1
）
定义在
R
上的奇函数，必有
f
(0)
＝
.
（
2
）
若奇函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上是增函数，且有最大值
M
，则
f
(
x
)
在
[
－
b
，－
a
]
上是
函数，且有
－
M
.
（
3
）
若偶函数
f
(
x
)
在
(
－
∞
，
0)
上是减函数，则有
f
(
x
)
在
(0
，＋
∞)
上是增函数．
2
、
奇偶性与单调性
一般地，若函数
f
(
x
)
为奇函数，则
f
(
x
)
在关于原点对称的两个区间
[
a
，
b
]
和
[
－
b
，－
a
]
上具有相同的单调性；若函数
f
(
x
)
为偶函数，则
f
(
x
)
在关于原点对称的两个区间
[
a
，
b
]
和
[
－
b
，－
a
]
上具有相反的单调性．
3
、
奇偶性的推广
一般地，对于定义域内任意
x
，
(1)
若
f
(
a
－
x
)
＝
2
b
－
f
(
a
＋
x
)
，则
f
(
x
)
的图象关于点
(
a
，
b
)
对称
.
当
a
＝
b
＝
0
时，即为奇函数的定义．
(2)
若
f
(
a
－
x
)
＝
f
(
a
＋
x
)
，则
f
(
x
)
的图象关于直线
x
＝
a
对称，当
a
＝
0
时，即为偶函数的定义．
【小试牛刀】
1
．判断
(
正确的打
“√”
，错误的打
“×”)
(1)
对于函数
y
＝
f
(
x
)
，若存在
x
，使
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，则函数
y
＝
f
(
x
)
一定是奇函数
.(
)
(2)
不存在既是奇函数，又是偶函数的函数
.(
)
(3)
若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数
.(
)
(
4
)
若存在
x
0
使
f
(1
－
x
0
)
＝
f
(1
＋
x
0
)
，则
f
(
x
)
关于直线
x
＝
1
对称．
(×)
(
5
)
对于定义域内任意
x
，有
f
(1
－
x
)
＝
f
(1
＋
x
)
，则
y
＝
f
(1
－
x
)
与
y
＝
f
(1
＋
x
)
关于直线
x
＝
1
对称．
(×)
2
．下列函数为奇函数的是
(
)
A
．
y
＝
|
x
|
B
．
y
＝
3
－
x
C
．
y
＝
D
．
y
＝－
x
2
＋
14
3
．若函数
y
＝
f
(
x
)
，
x
∈[
－
2
3.2.2 奇偶性-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）.docx
