广东省新南方联盟2024届高三4月联考
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡指定区域内，并用 2B 铅笔填涂相关信息。
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在问卷
、草稿纸
上则答案无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
一、单选题
（共40分）：本题共
8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
1.
如图，在复平面内，复数
对应的向量分别是
，
，则
对应的点位于
（
）
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
2.
已知集合
，则
的真子集数量是
（
）
A．
B．
C．
D．
3．
已知向量
与
能作为平面向量的一组基底
，若
与
共线（
）
，则
的值是
（
）
A．
B．
C．
D．
4
．
名同学以
人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是
（
）
A．
B．
C．
D．
5
．
设函数
，若将
的图象向左平移
个单位长度后在
上有且只有两个零点，则
的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
6
．
以下什么物体能被整体放进底面半径为
，高为
的圆柱中
A．
底面半径为
，母线长为
的圆锥
B．
边长为
的正二十面体
C．
底面半径为
，高为
的圆柱
D．
底面积为
，高为
的直三棱柱
7
．
设数列
的
通项公式为
，其前
项和
为
，
则使
的最小
是
（
）
A．
B．
C．
D．
8
.
已知
，则
的大小关系是
（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
（共18分）
：本题共
3
小题，每小题
6
分，共
18
分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得
6
分，
部分选对
得
部分
分，有选错的得0分。
9．
已知
，且
，则下列不等式中成立的有
（
）
A．
B．
C．
D．
10．
抛
物线
焦点为
，且过点
，
斜率互为相反数的
直线
，
分别交
于另一点
和
，则下列说法正确的
有
（
）
A．直线
过定点
B．
在
两点处的切线斜率和为
C．
上存在无穷多个点到点
和直线
的距离和为
D．
当
都在
点左侧时，
面积的最大值为
1
1
.
已知函数
，
的定义域为
，
的导函数为
，且
，
，若
为偶函数，则下列说法正确的是
（
）
A．
B．
C．
若存在
使
在
上单调递增，在
上单调递减，则
的极小值点为
D．
若
为偶函数，则满足题意的
唯一，满足题意的
不唯一
三、填空题（共15分）：本题共3
小题，
每小题5
分
，
共
15
分
。
1
2
.
在
中，
分别为角
的对边，
，则
的值
是
_
_______.
1
3
.
已知在平面直角坐标系中，一双曲线的图象可以通过旋转和平移变换为
（
为关于
的函数）的图象，则双曲线的离心率的取值范围是
_
_______.
14. 设函数
的零点为
，则当
的取值为
时，
的最大值为
.
四、解答题（共77分）：本题共5
小题，共
77
分
。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1
5．（13分）
数列
满足
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，求
数列
的前
项和.
1
6．（15分）
如图，四棱锥
的底面是矩形，侧棱
底面
，
是
的中点，
（1）证明
：
∥平面
；
（
2
）
求直线
与平面
所成角的正弦值
.
1
7．（15分）
某厂有
组生产用设备，由于设备使用时间过长，每组设备
在一个月内
均
有
的故障率
。现该厂制定设备翻新计划，
每个月
月初
有
的概率在剩余未改造
设备
中随机抽取
一组并在月底翻新，但月内
若
有设备
发生故障
，
则无论本月有无
翻新
计划及是否抽到该
设备
，
故障的设备
都将立即
翻新
，且该月内不再
因为故障翻新
其它
设备（但若发生故障的不是已经在送修计划内的设备，则计划翻新仍将正常进行）
，若再有
设备
发生故障则将会维修（但暂不
翻新
）后重新投入
生产
.
（1）
求第一个月恰好
翻新一组设备
的概率；
（2）设第一个月结束后，已翻新的设备数量为随机变量
，求
的均值.
1
8．（17分）
设函数
，
.
（1）当
时，比较
和
的大小关系；
（
2
）证明：
的图象与
的图象关于直线
对称；
（3）在平面直角坐标系中，若以
为圆心的圆交
的图象于
两点，证明：
.
1
9．（17分）
在平面直角坐标系中，若
两点在一曲线
上，曲线
在
处均存在不垂直于
轴的切线，且两条切线的斜率的平均值等于直线
的斜率，则称
是曲线
的一条“切线相依割线”。
（1）证明：
准线平行于
轴的抛物线上任意一条割线均为
“切线相依割线”
；
（
2
）试探究双曲线
在第一象限内是否存在
“切线相依割线”，若存在，请求出所有的“切线相依割线”，若不存在，请说明理由.
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