福建百校联盟2023届高三下学期4月联合测评（三模）数学 (含参考解析)

2023届4月高三联合测评（福建） 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．若复数 ， ， 在复平面上对应的点在第四象限，则 （ ） A．6 B．4 C． D． 3．已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．已知 ， 恒成立，则 的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 5．函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 6．在 中， ， ， ， 为 所在平面上的一点， ，则 的最大值为（ ） A． B．25 C． D． 7． 已知双曲线 （ ， ）的渐近线与 交于第一象限内的两点 ， ， 若 为等边三角形 ， 则双曲线的离心率 （ ） A． B． C．2 D． 8．已知数列 满足 ， ， 恒成立，则 的最小值为（ ） A．3 B．2 C．1 D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9． 已知 ， 则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 的最小值为6 10．已知 ， ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，两圆的公切线过点 B．若 ，两圆的相交弦长为 C．若两圆的一个交点为 ，分别过点 的两圆的切线相互垂直，则 D．若 时，两圆的位置关系为内含 11．已知一组 个数据： ， ，…， ，满足： ，平均值为 ，中位数为 ，方差为 ，则（ ） A． B． C．函数 的最小值为 D．若 ， ，…， 成等差数列，则 12．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A． 为增函数 B． 的最小值为 C．函数 有且仅有两个零点 D．若 ，且 ，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．5个人站成一排，小王不站两端的概率为 __________ ． 14．已知 ，角 的终边上有点 ，则 __________ ． 15．函数 的单调增区间是 __________ ． 16．如图，正四面体 的棱长为3， ， ， 分别是 ， ， 上的点， ， ， ，截去三棱锥 ，同理，分别以 ， ， 为顶点，各截去一个棱长为1的小三棱锥，截后所得的多面体的外接球的表面积为 __________ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知等差数列 ，等比数列 ，满足 ， ， ． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）令 ，求满足 的最小的正整数 的值． 18．（本小题满分12分） 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ． （1）证明： ； （2）若 ，当 取最大值时，求 的面积． 19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱 中， 为等边三角形， ， ． （1）证明： 平面 ； （2）求 与平面 所成的角的正弦值． 20．（本小题满分12分） 疫情过后，某工厂快速恢复生产，该工厂生产所需要的材料价钱较贵，所以工厂一直设有节约奖，鼓励节约材料，在完成生产任务的情况下，根据每人节约材料的多少到月底发放，如果1个月节约奖不少于1000元，为“高节约奖”，否则为“低节约奖”，在该厂工作满15年的为“工龄长工人”，不满15年的为“工龄短工人”，在该厂的“工龄长工人”中随机抽取60人，当月得“高节约奖”的有20人，在“工龄短工人”中随机抽取80人，当月得“高节约奖”的有10人． （1）若以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率估计概率，在该厂的“工龄长工人”中任选取5人，估计下个月得“高节约奖”的人数不少于3人的概率； （2）根据小概率值 的独立性检验，分析得“高节约奖”是否与工人工作满15年有关． 参考数据：附表及公式： ， 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21．（本小题满分12分） 已知椭圆 的上顶点为 ，右顶点为 ，直线 的斜率为 ， ， ， ， 是椭圆上4个点（异于点 ）， ，直线 与 的斜率之积为 ，直线 与 的斜之和为1． （1）证明： ， 关于原点对称； （2）求直线 与 之间的距离的取值范围． 22．（本小题满分12分） 已知函数 ． （1）求 的单调区间和极值； （2）若 有零点，求 的最小值． 2023届4月高三联合测评（福建）·数学 参考答案、提示及评分细则 1．C ， ，故 ．故选C． 2．A ， ， 由 在复平面上对应的点在第四象限，故舍去 ， ．故选A． 3．C 设 的公差为 ，则 ， ．故选C． 4．D ， ，得 ，A是 的必要不充分条件， B是 的必要不充分条件，C： 是 的充要条件， D： 是 的充分不必要条件．故选D． 5．A 因为 ，所以 为奇函数， 的图象关于原点对称，排除B，D， 又 ，故 在 ， 上都为增函数，故选A． 6．B 以 为原点， ， 方向分别为 轴， 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ， ，设 ，则 ， ， ， ， 与 的距离为 ， 的最大值为 ， 的最大值为 ．故选B． 7．B 满足 ，又满足 ，故 ， 轴， ， 可得 ， ．故选B． 8．C ， 是等差数列， ，故对 ， ， 也符合上式， ，故 可取1， ， 且 ，故 的最小值为1．故选C． 9．AC A： ，故A正确； B： ， 显然满足条件，故B错误； C： ，故C正确； D