河北唐山市2024届高三下学期二模考试 数学(含参考答案)

2024届唐山市普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂黑其他答案标号．解答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．某地区5000名学生的数学成绩 （单位：分）服从正态分布 ，且成绩在 的学生人数约为1800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（ ） A．200 B．700 C．1400 D．2500 3．若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线．已知双曲线 的标准方程为 ，则 的共轭双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 4．函数 （ ）在 上为单调递增函数，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知数列 满足 ， ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知 为平面 外的一条直线，则下列命题中正确的是（ ） A．存在直线 ，使得 ， B．存在直线 ，使得 ， C．存在直线 ，使得 ， D．存在直线 ，使得 ， 8．已知圆 ： ，过点 的直线 与 轴交于点 ，与圆 交于 ， 两点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为研究光照时长 （小时）和种子发芽数量 （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点 后，下列说法正确的是（ ） A．相关系数 变小 B．经验回归方程斜率变小 C．残差平方和变小 D．决定系数 变小 10．设抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与 交于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ） A． B．以 为直径的圆与 相切 C．以 为直径的圆过坐标原点 D． 为直角三角形 11．设函数 ，则下列结论正确的是（ ） A． 为奇数时， 在 单调递增 B． 为奇数时， 在 有一个极值点 C． 为偶数时， 在 单调递增 D． 为偶数时， 的最小值为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 的虚部为 _ _____． 13．公式 ，其等号右侧展开式共有3类非同类项， 的展开式共有6类非同类项；那么 的展开式共有 _ _____类非同类项， 的展开式共有 _ _____类非同类项． 14．锐角 中， 边上的高为4，则 面积的取值范围为 _ _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在三棱台 中， 平面 ， ， ， ． （1）求证： ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值． 16．（15分） 某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为 ，摸到2分球的概率为 ． （1）若学生甲摸球2次，其总得分记为 ，求随机变量 的分布列与期望； （2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． 17．（15分） （1）证明： ； （2）若 ， ，利用（1）结合自己所学知识，求 ． 18．（17分） 已知椭圆 的右焦点为 ，其四个顶点的连线围成的四边形面积为 ；菱形 内接于椭圆 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）（ ⅰ ）坐标原点 在边 上的投影为点 ，求点 的轨迹方程； （ ⅱ ）求菱形 面积的取值范围． 19．（17分） 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当 （ ）时命题成立；2．假设 （ ，且 ）时命题成立，推导出在 时命题也成立． 用模取余运算： 表示 “ 整数 除以整数 ，所得余数为整数 ” ．用带余除法可表示为：被除数 ＝除数×商＋余 数，即 ，整数 是商．如 ，则 ；再如 ，则 ．当 时，则称 整除 ． 现从序号分别为 ， ， ， ， …， 的 个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个 遴 选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到 （ ）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为 ．如 表示当只有1个人时幸运者就是 ； 表示当有6个人而 时幸运者是 ； 表示当有6个人而 时幸运者是 ． （1）求 ； （2）当 时， ，求 ； 当 时，解释上述递推关系式的实际意义； （3）由（2）推测当 （ ）时， 的结果，并用数学归纳法证明． 唐山市2024年普通