长郡中学2024届高考适应性考试（二）
数学
命题人：__________审题人__________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名
､
准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一
､
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知数列
满足
，若
，则
（ ）
A.2 B.-2 C.-1 D.
3.已知样本数据
的平均数和标准差均为4，则数据
的平均数与方差分别为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐
､
毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为
平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A.
平方米 B.
平方米
C.
平方米 D.
平方米
5.儿童玩具纸风车（图1）体现了数学的对称美.取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，纸风车的主体部分就完成了（图2）.则（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知函数
的最小正周期为
，直线
是
图象的一条对称轴，则
的单调递减区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知复数
满足
，（其中
是虚数单位），则
的最小值为（ ）
A.2 B.6 C.
D.
二
､
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列函数中最小值为2的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.若
满足
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11.在正方体
中，
为
的中点，
是正方形
内部一点（不含边界），则（ ）
A.平面
平面
B.平面
内存在一条直线与直线
成
角
C.若
到
边距离为
，且
，则点
的轨迹为抛物线的一部分
D.以
的边
所在直线为旋转轴将
旋转一周，则在旋转过程中，
到平面
的距离的取值范围是
三
､
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知
的展开式中常数项为20，则实数
的值为__________.
13.已知定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
.若
，则
在点
处的切线方程为__________.（用含
的表达式表示）
14.已知双曲线
的左
､
右焦点分别为
，右顶点为
，过
的直线交双曲线
的右支于
两点（其中点
在第一象限内），设
分别为
的内心，则当
时，
__________；
内切圆的半径为__________.
四
､
解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明
､
证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知在
中，内角
所对的边分别为
，其中
.
（1）求
；
（2）已知直线
为
的平分线，且与
交于点
，若
，求
的周长.
16.（本小题满分15分）
如图，已知
为等腰梯形，点
为以
为直径的半圆弧上一点，平面
平面
为
的中点，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
所成角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中
的游客计划只游览冰雪大世界，另外
的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.
（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为
，求
的分布列及数学期望；
（2）记
个游客得到文旅纪念品的总个数恰为
个的概率为
，求
的前
项和
（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为
个的概率为
，当
取最大值时，求
的值.
18.（本小题满分17分）
在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.
已知椭圆
的蒙日圆的面积为
，该椭圆的上顶点和下顶点分别为
，且
，设过点
的直线
与椭圆
交于
两点（不与
两点重合）且直线
.
（1）证明：
的交点
在直线
上；
（2）求直线
围成的三角形面积的最小值.
19.（本小题满分17分）
帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期二模数学试题 .docx
