河南2022-2023学年高三下学期阶段性测试（四）文科数学试题(含参考答案)

2022 — 2023 学年高中毕业班阶段性测试 （ 四 ） 文科数学 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．已知集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 ． 若 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 3 ．已知函数 在 R 上的导函数为 ，则 “ ” 是 “ 是 的极值点 ” 的 （ ） A ．充分必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件 4 ．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ） A ．1 B ． C ．2 D ． 5 ．已知函数 是奇函数，且当 时， ，则 （ ） A ． B ． C ．2 D ．4 6 ．若 ，则 （ ） A ．3 B ．2 C ． D ．1 7 ．已知 A 为抛物线 C ： 上在第一象限内的一个动点， ， O 为坐标原点， F 为 C 的焦点，若 ，则直线 AF 斜率的绝对值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 8 ．若棱长均相等的正三棱柱的体积为 ，且该三棱柱的各个顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为 （ ） A ． B ． C ． D ． 9 ．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前 3 个月繁殖数量 y （ 单位 ： 百只 ） 的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型 对 y 与 t 的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第 6 个月该物种的繁殖数量为 （ ） 第 t 个月 1 2 3 繁殖数量 y A ． 百只 B ． 百只 C ． 百只 D ． 百只 10 ．函数 的零点个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11 ．在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ，则 的取值范围为 （ ） A ． B ． C ． D ． 12 ．已知双曲线 的左顶点为 A ，点 ，直线 AB 与双曲线的两条渐近线分别交于 P ， Q 两点，若线段 PQ 的垂直平分线经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 二 、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ．在区间 上随机取一个数 x ，则 的概率为 ______． 14 ．已知实数 x ， y 满足约束条件 则 的最大值为 ______． 15 ．已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向右平移 （ T 为 的最小正周期 ） 个单位长度得到 的图象，则 ______． 16 ．已知圆锥内有一个内接圆柱，圆柱的底面在圆锥的底面内，当圆柱与圆锥体积之比最大时，圆柱与圆锥的底面半径之比为 ______． 三 、 解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 ， 23 题为选考题，考生根据要求作答． （一） 必考题：共 60 分． 17．（12 分 ） 已知数列 的前 n 项和 ． （Ⅰ） 求 的通项公式； （Ⅱ） 设 求数列 的前 30 项和． 18．（12分） 某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略，统计了过去 100 天该产品的日销售收入 （ 单位：万元 ） 并分成六组制成如图所示的频率分布直方图． （ Ⅰ ） 求 a 的值并估计过去 100 天该产品的日销售收入的平均值 ； （ 同一区间数据以中点值作代表 ） （Ⅱ） 该超市过去 100 天中有 30 天将该商品降价销售，在该商品降价的 30 天中有 18 天该产品的日销售收入不低于 0.6 万元，判断能否有 97.5 %的把握认为该商品的日销售收入不低于 0.6 万元与该日是否降价有关． 附： ，其中 ． 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 19．（12分） 如图，在四棱锥 P - ABCD 中， ， ， ． （ Ⅰ ） 证明： ； （Ⅱ） 若 ， ， ，且点 C 到平面 PAB 的距离为 ，求 AD 的长． 20．（12分） 已知函数 ， ． （Ⅰ） 若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求 的单调区间； （Ⅱ） 若存在唯一的 ，满足 ，求 a 的取值范围． 21 ． （12 分 ） 已知椭圆 的离心率为 ，且 为 C 上一点． （Ⅰ） 求 C 的标准方程； （Ⅱ） 点 A ， B 分别为 C 的左、右顶点， M ， N 为 C 上异于 A ， B 的两点，直线 MN 不与坐标轴平行且不过坐标原点 O ，点 M 关于原点 O 的对称点为 ，若直线 与直线 BN 相交于点 P ，直线 OP 与直线 MN 相交于点 Q ，证明：点 Q 位于定直线上． （二） 选考题：共 10 分．请考生在第 22 ， 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22 ． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]（10分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数 ） ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （Ⅰ） 求曲线 C 的普通方程； （Ⅱ） 若 P 为 C 上一动点，求 P 到 l 的距离的取值范围． 23 ． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]（10 分 ） 已知函数 ． （Ⅰ） 求不等式 的解集； （Ⅱ） 设 的最小值为 M ，若正实数 a ， b 满足 ，证明： ． 2022 — 2023 学年高中毕业班阶段性测试 （ 四 ） 文科数学·答案 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ． 1 ．答案 C 命题意图 本题考查集合的交运算． 解析 ． 2 ．答案 A 命题意图 本题考查复数的四则运算． 解析 ，则 ． 3 ．答案 D 命题意图 本题考查极值点的概念以及充分必要条件的判断． 解