江苏南京市秦淮中学2023届高三下学期数学检测卷一(含参考答案)

2023届高三下期检测一 数学 一、 单选 题 （每题5分，共计40分） 1、设集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2、复数 的虚部是 ( ) . A.i B. C. D.1 3、给出三个数 ， ， ，则它们的大小顺序为( ) A. B. C. D. 4、设 a 为实数，函数 的导函数是 ，且 是偶函数，则曲线 在原点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 5 、已 知抛物线 的焦点为 F ，准线为 l .若 l 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 （ O 为原点），则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D. 6、下列说法中正确的是( ) A.单位向量都相等 B.平行向量不一定是共线向量 C.对于任意向量 ，必有 D.若 满足 且 与 同向，则 7、已知函数 ， 既有最小值也有最大值，则实数 t 的取值范围是( ) A. B. C. 或 D. 8 、设 ， ，且 ，则当 取最小值时， ( ) A.12 B.8 C.16 D. 二、多项选择题 （每题5分，共计20分，漏选得2分，错选不得分） 8、如图，四棱锥 的 底面 ABCD 是边长为 正方形， 底面 ABCD ， ， E 、 F 分别为 PD 、 A B 的中点，过 C 、 E 、 F 的平面与 PA 交于点 G ，则( ) A． B． C． 以 P 为球心， 2 为半径的球面与底面 的交线长为 D．四棱锥 外接球体积为 10 、在 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若 ,则角 B 的值为 ( ) A. B. C. D. 11、已知函数 ,下列说法正确的是( ) A.函数 为偶函数 B.若 ,其中 ,则 C.函数 在 上单调递增 D . 若 ,则 12、已知直线 和点 ，过点 A 作直线 与直线 相交于点 B ，且 ，则直线 的方程为( ) A. B. C. D. 三、填空题 （每题5分，共计20分） 13、过氧化氢（ ）是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化 和 直接合成 目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由 ， 及 ， ， 五种原子中的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为______________. 14 、 圆 与圆 的交点为 A ， B ，则弦 AB 的长为_____. 15 、设点 ， ，若直线 AB 关于 对称的直线与圆 有公共点，则 a 的取值范围 是 ________. 16 、 双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 C 的焦距为__________. 四、解答题 （共计6大题，共计70分） 17、（10分）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题. 已知等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 2 d .设 ， 分别是数列 ， 的前 n 项和，且 ， ，_________. （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18、（12分）已知 的内角 所对的边分别为 满足 . (1)求角 B 的大小; (2)若 ,设 的面积为 S ,满足 ,求 b 的值. 19、 （12分） 如图，三棱柱 的侧棱 底面 ABC ， ， E 是棱 上的动点， F 是 AB 的中点， ， ， . （ 1 ）当 E 是棱 的中点时，求证： 平面 ； （ 2 ）在棱 上是否存在点 E ，使得二面角 的余弦值是 ？若存在，求出 CE 的长；若不存在，请说明理由 . 20 、 （12分） 设抛物线 的焦点为 F ，点 ，过 F 的直线交 C 于 M ， N 两点.当直线 MD 垂直于 x 轴时， . （1）求 C 的方程； （2）设直线 MD ， ND 与 C 的另一个交点分别为 A ， B ，记直线 MN ， AB 的倾斜角分别为 ， .当 取得最大值时，求直线 AB 的方程. 21、 （12分） 垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据 ，其中 和 分别表示第 i 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得 ， . （1）请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程； （3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表： 1年 2年 3年 4年 总计 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年)，以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算? 参考公式：相关系数 ， 对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： . 22、 （12分） 已知函数 . （1）当 时，讨论 的单调性； （2）当 时， ，求 a 的取值范围； （3）设 ，证明： . 参考答案 1、答案： B 解析：解不等式 得 .又 ,则集合 .又 ,即 ,所以 ,集合 ,得 ,故选B. 2、答案：D 解析： ，即复数 的虚部是1，故选D. 3、答案：D 解析： ， ， ，所以 . 4、答案： A 解析： 因为 ，所以 ， 又 是偶函数，所以 ，即 ， 所以 ，则 ， 所以曲线 在原点处的切线方程为 . 5 、答案： D 解析：如图，由题意可知抛物线的焦点为 ，准线方程为 ， ， ，又