江西上饶市2023届高三下学期二模试题 数学（理） (含参考解析)

上饶市2023届第二次高考模拟考试 数学（理科）试题卷 第 Ⅰ 卷（选择题） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．复数 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知等差数列 的前 n 项和为 ， ，则 （ ） A．92 B．94 C．96 D．98 4．《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题： “ 今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？ ” 其意思为： “ 有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为1丈，那么该圆台的体积是多少？ ” 已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ） A． 立方尺 B． 立方尺 C． 立方尺 D． 立方尺 5．中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手。下表是2022年我国某新能源汽车厂前5个月的销量 y 和月份 x 的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为 ，则下列四个命题正确的个数为（ ） 月份 x 1 2 3 4 5 销量 y （万辆） 1 . 5 1 . 6 2 2 . 4 2 . 5 ① 变量 x 与 y 正相关 ； ② ； ③ y 与 x 的样本相关系数 ； ④ 2022年7月该新能源汽车厂的销量一定是3 . 12万辆． A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知平面向量 ， 满足 ， ， ，记向量 ， 的夹角为 ，则 （ ） A． B． C． D． 7．在 中， 的角平分线交 AB 于点 D ， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 8．已知 ， ， 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数 有3个不同的零点分别为 ， ， ，且 ， ， 成等比数列，则实数 a 的值为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 10．已知函数 在（0,1）内恰有4个极值点和3个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知直角坐标系 xoy 中， M （－2 , 0）， N （2 , 0），动点 P 满足 ，则下列结论正确的是（ ） A． 的取值范围是 B． 的取值范围是 C． P 点横坐标的取值范围是 D． 面积的最大值为 12．若曲线 与曲线 有公切线，则实数 a 的取值范围（ ） A． B． C． D． 第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知 的展开式中常数项为20，则实数 m 的值为 ______ ． 14．过三点 A （1,5）， B （1, － 1）， C （4,2）的圆交 x 轴于 M ， N 两点，则 ______ ． 15．已知 上任取点 P 作圆 的两条切线，切点分别为 A ， B ，过 A ， B 的直线与 x 轴， y 轴分别交于 M ， N 两点，则 面积的最小值为 ______ ． 16．在四棱锥 P － ABCD 中， 平面 ABCD ， PA =1， AB = ， AD =4，点 M 是矩形 ABCD 内（含边界）的动点，满足 MA 等于 M 到边 CD 的距离．当三棱锥 P － ABM 的体积最小时，三棱锥 P － ABM 的外接球的表面积为 ______ ． 三、解答题。共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17．已知数列 为非零数列，且满足 ． （1）求数列 的通项公式 ； （2）求数列 的前 n 项和 ． 18．阳春三月，春暖花开，婺源县䇸岭景区迎来了旅游高峰，某特产超市为了解游客购买特产的情况，对2023年3月期间的100位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表： 购买金额（元） 人数 15 20 25 20 10 10 （1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关， 不少于600元 少于600元 合计 男 25 女 40 合计 （2）为吸引游客，该超市推出两种优惠方案：方案一：每满200元减40元． 方案二：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为 ，中奖1次减100元，中奖2次减150元，中奖3次减200元．若某游客计划购买600元的特产，依据优惠金额的期望的大小，此游客应选择方案一还是方案二？请说明理由。 附：参考公式和数据： ， ． 附表： 2 . 072 2 . 706 3 . 841 6 . 635 0 . 150 0 . 100 0 . 050 0 . 010 19．如图，等腰梯形 ABCD 中， ， ， ， E 为 DC 中点，以 AE 为折痕把 折起，使得点 D 到达点 P 的位置，且二面角 P － AE － C 的余弦值为 ． （1）证明： ； （2）求直线 PE 与平面 PBC 所成的角． 20．已知椭圆 C ： 的离心率 ，点 ， 为椭圆 C 的左、右焦点且经过点 的最短弦长为3． （1）求椭圆 C 的方程 ； （2）过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于不同两点 A ， B ， 与直线 x = c 交于点 P ，若 ， 且点 Q 满足 ， 求 的最小值． 21．已知函数 ， ． （1）若 是 R 上的减函数，求实数 a 的取值范围 ； （2）若 有两个极值点 ， ，其中 ，求证： ． 选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题