绵阳南山中学实验学校高2021级(2024届)四月月考试卷
理科数学
命题人:唐建伟
王诗洁
审题人:朱礼臣
李如成
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
,
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知复数
满足
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
3.抛物线
的焦点和准线为(
)
A.
B.
C.
D.
4.某车间加工零件的数量
与加工时间
的统计数据如表:
零件数
(个)
18
20
22
加工时间
(分)
27
33
现已求得上表数据的回归方程
中的
值为0.9,则据此回归模型可以预测,加工100个零件所需要的加工时间约为102分钟,则
的值为(
)
A.28
B.29
C.30
D.32
5.已知函数
,
,
,
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
6.直线
与圆
:
有公共点的一个充分不必要条件是(
)
A.
B.
C.
D.
7.过双曲线
:
左焦点为
和点
直线
与曲线
的交点个数是
(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
8.我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍:
“
一般地,如果某物质的半衰期为
,那么经过时间
后,该物质所剩的质量
,
其中
是该物质的初始质量.
”
现测得某放射性元素的半衰期为1350年(每经过1350年,该元素的存量为原来的一半),某生物标本中该放射性元素的初始存量为
,经检测现在的存量为
.据此推测该生物距今约为(
)(参考数据:
)
A.2452年
B.2750年
C.3150年
D.3856年
9.函数
的图象大致形状是(
)
A.
B
.
C.
D.
10.已知三棱锥
的四个顶点在球
的球面上,
,
,
,
分别是
,
的中点,
,则球
的体积为(
)
A.
B.
C.
D.
11.在高考的任一考场中,都安排6行5列共30名考生,考号机选,考场使用
卷和
卷两种答卷以防作弊,且每名考生拿到
卷和
卷都是均等的,且相邻考生答卷不相同,甲乙两名同学在同一考场,已知甲乙同列的情况下,则他们都拿到
卷的概率(
)
A.
B.
C.
D.
12.如图所示的几何体是由正方形
沿直线
旋转90°得到的.设
是圆弧
的中点,
是圆弧
上的动点(含端点),则直线
与平面
所成角的正弦值最大为(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在新冠肺炎疫情期间,学生进行网上上课.我校高一、高二、高三共有学生1800名,为了了解同学们对
“
钉钉
”
授课软件的意见,计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好从小到大排列的连续偶数.则我校高三年级的人数为
_
_____.
14.若
,
满足约束条件
,则
的最大值为
_
_____.
15.已知
,则
_
_____.
16.倾斜角为锐角
的直线过抛物线
的焦点,与抛物线交于
、
两点,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,则
_
_____.
三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列
,
满足
,
,
.
(1)证明:
为等差数列.
(2)设数列
的前
项和为
,求
.
18.实现
“
双碳目标
”
是党中央作出的重大战略决策,新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业,对于实现
“
双碳目标
”
具有重要的作用.为了解某市电动汽车的销售情况,调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况,数据如下表所示:
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
编号
1
2
3
4
5
6
产值
百万辆
9
18
30
51
59
80
(1)若用模型
拟合
与
的关系,根据提供的数据,求出
与
的经验回归方程(精确到0.01);
(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法,从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访,记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为
,求随机变量
的分布列与数学期望.
参考数据:
,
,
其中
.
参考公式:对于一组数据
(
)
,其经验回归直线
的斜率截距的最小二乘估计分别
,
.
19.如图,在直三棱柱
中,
,
,
垂直于平面
.点
,
,
分别为边
,
,
上的动点(不包括顶点),且满足
.
(1)求三棱锥
的体积的最大值;
(2)记平面
与平面
所成的锐二面角为
,当点
为
中点时,求
的值.
20.已知椭圆
:
(
)的离心率为
,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为
.
(1)求椭圆的方程
;
(2)直线
(
)与椭圆
交于
、
两点,与
轴交于点
,线段
的垂直平分线与
交于点
,与
轴交于点
,
为坐标原点,如果
,求
的值.
21.已知函数
,
(1)讨论
时函数
在
上的单调性
;
(2)当
时,若
对于任意
恒成立,求
的取值范围.
选作题:共10分,请考生在22、23题中任选一个作答,如果多做,按第一个给分
.
选修4—4:极坐标与参数方程
22.在平面直角坐标系
中,射线
的方程为
(
),曲线
的方程为
.以坐标原点为极点,
轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求射线
和曲线
的极坐标方程
;
(2)若射线
与曲线
交于点
,将射线
绕极点按逆时针方向旋转
交
于点
.求
的面积.
选修4—5:不等式选讲
23.
四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高三下学期4月月考试题 数学(理) .docx