3.3
幂函数
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.
了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式
.
2.
结合幂函数
y
=
x
,
y
=
x
2
,
y
=
x
3
,
y
=
,
y
=
x
的图象,掌握它们的性质
(
重点
).
3.
能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小
(
重点
).
1
、
数学模型
2
、数学
运算
3
、直观想象
【自主学习】
幂函数的概念
一般地,函数
叫做幂函数,其中
x
是自变量,
α
是常数
.
幂函数的图象
幂函数在第一象限内指数变化规律
:
在第一象限内直线
x
=
1
的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线
x
=
1
的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小
.
3.
幂函数的性质
幂函数
y
=
x
y
=
x
2
y
=
x
3
y
=
x
y
=
x
-
1
定义域
值域
奇偶性
单调性
x
∈[0
,+
∞)
,
x
∈(
-
∞
,
0]
,
x
∈(0
,+
∞)
,
x
∈(
-
∞
,
0)
,
公共点
都经过点
(1)
所有幂函数在
(0
,+
∞
)
上都有定义,并且当自变量为
1
时,函数值为
1
,即
f
(1)
=
1.
(2)
如果
α
>
0
,则幂函数在
[0
,+
∞)
上有意义,且是增函数
.
(3)
如果
α
<
0
,则幂函数在
x
=
0
处无意义,在
(0
,+
∞)
上是减函数
.
【小试牛刀】
1
.判断
(
正确的打
“√”
,错误的打
“×”)
(1)
函数
y
=
x
0
(
x
≠0)
是幂函数.
(
)
(2)
幂函数的图象必过点
(0,0)
和
(1,1)
.
(
)
(3)
幂函数的图象都不过第二、四象限.
(
)
(4)
当
α
>0
时,
y
=
x
α
是增函数.
(
)
2.
设函数
f
(
x
)
=
x
,则
f
(
x
)
是
(
)
A.
奇函数
B.
偶函数
C.
既不是奇函数也不是偶函数
D.
既是奇函数又是偶函数
3.
3.17
-
3
与
3.71
-
3
的大小关系为
________.
【经典例题】
题型一 幂函数的概念
注意:
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为
y
=
x
α
(
α
为常数
)
的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:
(1)
指数为常数;
(2)
底数为自变量;
(3)
系数为
1.
例
1
(1)
在函数
①
y
=
,
②
y
=
x
2
,
③
y
=
2
x
,
④
y
=
1
,
⑤
y
=
2
x
2
,
⑥
y
=
x
中,是幂函数的是
(
)
A
.
①②④⑤
B
.
③④⑥
C
.
①②⑥
D
.
①②④⑤⑥
(2)
若
f
(
x
)
=
(
m
2
-
4
m
-
4)
x
m
是幂函数,则
m
=
________.
[
跟踪训练
]
1
若幂函数
f
(
x
)
满足
f
(9)
=
3
,则
f
(100)
=
________.
题型二 幂函数的图象及
性质
注意
:
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)
依
3.3 幂函数-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(人教A版必修第一册).docx