2023~2024学年度第二学期高三期初试卷
数
学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则
75%
分位数是（ ）
A．18
B．20
C．21
D．22
2．
已知复数
满足
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
3．
在
中，
，且
的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
4．
已知正数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5．
已知平面内的向量
在向量
上的投影向量为
，且
，则
的值为
（ ）
A．
B．1
C．
D．
6．
等差数列
的首项为1，公差不为0．若
成等比数列，则
的前5项的和为
（ ）
A．
B．
C．5
D．25
7．
已知
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．2
8．
已知过坐标原点
且异于坐标轴的直线交椭圆
于
两点，
为
中点，过
作
轴垂线，垂足为
，直线
交椭圆于另一点
，直线
的斜率分别为
，若
，则粗圆离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知
，下列命题正确的是
（ ）
A．命题
“
”
的否定是
“
，使得
成立
”
B．若命题
“
恒成立
”
为真命题，则
C．
“
”
是
“
方程
有实数解
”
的充分不必要条件
D．若命题
“
”
为真命题，则
10．
正方体
的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合
，则
（ ）
A．
中元素的个数为58
B．
中每个四面体的体积值构成集合
，则
中的元素个数为2
C．
中每个四面体的外接球构成集合
，则
中只有1个元素
D．
中不存在四个表面都是直角三角形的四面体
11．
已知函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的最小值是
C．存在唯一实数
，使得
是偶函数
D．
在
上有3个极大值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．与
圆
和圆
都相切的直线方程是
______．
13．
已知
是圆锥
的底面直径，
是底面圆周上的一点，
，则二面角
的余弦值为
______．
14．
如果函数
在区间
上为增函数，则记为
，函数
在区间
上为减函数，则记为
．已知
，则实数
的最小值为
______
；函数
，且
，则实数
______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在如图所示的圆台中，
是下底面圆
的直径，
是上底面圆
的直径，
，
为圆
的内接正三角形．
（1）证明：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
16．
（15分）
为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮．每人投一次篮，两人中只有1人命中，命中者得1分，未命中者得
分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为
，乙每次投篮命中的概率为
，且各次投篮结果互不影响．
（1）经过1轮投篮，记甲的得分为
，求
的分布列及数学期望；
（2）用
表示经过第
轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求
．
17．
（15分）
已知函数
．
（1）判断函数
在区间
上极值点和零点的个数，并给出证明；
（2）若
恒成立，求实数
．
18．
（17分）
已知双曲线
的两条渐近线分别为
上一点
到
的距离之积为
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）设双曲线
的左、右两个顶点分别为
为直线
上的动点，且
不在
轴上，直线
与
的另一个交点为
，直线
与
的另一个交点为
，直线
与
轴的交点为
，直线
与
的交点为
，证明
．
19．
（17分）
对于数列
，记
，称数列
为数列
的一阶差分数列；记
，称数列
为数列
的二阶差分数列，
…
，一般地，对于
，记
，规定：
，称
为数列
的
阶差分数列．对于数列
，如果
（
为常数），则称数列
为
阶等差数列．
（1）数列
是否为
阶等差数列，如果是，求
值，如果不是，请说明为什么？
（2）请用
表示
，并归纳出表示
的正确结论（不要求证明）；
（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列
为
阶等差数列，则其前
项和为
；
（4）某同学用大小一样的球堆积了一个
“
正三棱锥
”
，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，
…
，每层都摆放成
“
正三角形
”
，从第2层起，每层
“
正三角形
”
的
“
边
”
都比上一层的
“
边
”
多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
高三数学期初考试评分标准
一、选择题
题号
答案
出处
考查知识
能力素养
1
B
课本题改编
百分位数
运算求解
2
C
课本题改编
复数模的运算及性质
运算求解
3
B
课本题改编
江苏镇江市2023-2024学年高三下学期期初适应性练习 数学 .docx
