江苏南通市基地学校2022-2023高三下学期第五次大联考数学试题(含参考答案)

2023 届高三基地学校第五次大联考 数学 2023.04 本试卷共 6 页， 22 小题，满分 150 分 . 考试时间 120 分钟 . 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名 ､ 考生号 ､ 考场号和座位号填写在答题卡上 . 将条形码横贴在答题卡 “ 条形码粘贴处 ”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 . 答案不能答在试卷上 . 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液 . 不按以上要求作答无效 . 4. 考生必须保持答题卡的整洁 . 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 . 一 ､ 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 . 1 若集合 ，则（ ） A. M ∩ N = B. M ∩ N = N C. M ∪ N =Z D. M ∪ N = N 2. 已知 ，且 ，其中 、 为实数，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲函数起初用来描述一些物理运动过程，后来又大量应用于计算机科学 ､ 经济和金融领域．若双曲正切函数为 ，则 （ ） A. 是偶函数，且在 上单调递减 B. 是偶函数，且在 上单调递增 C. 是奇函数，且在 上单调递减 D. 是奇函数，且在 上单调递增 4. 设 是两个单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 甲 ､ 乙两所学校各有 3 名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排 3 人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 6. 中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形 . 如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为 x ，与承载重力的方向平行的高度为 y ，记矩形截面抵抗矩 . 根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽 x 与高 y 的最佳之比应为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知函数 的最小正周期为 ， 是 的导函数，设 ，若 是奇函数，且 的最大值为 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆 的离心率为 ，左顶点是 ，左 ､ 右焦点分别是 ， 是 在第一象限上的一点，直线 与 的另一个交点为 . 若 ，则直线 的斜率为（ ） A. B. C. D. 二 ､ 多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 在三棱柱 中， ， ， 是 中点，则（ ） A. 直线 与 异面 B. 直线 平面 C 直线 平面 D. 直线 平面 10. 根据《国家学生体质健康标准》规定，学生的体测得分由各单项指标得分与权重乘积之和组成，为了科学测量个体体质在全体中的位置，通常将体测得分转化为标准分数 . 某校一次体能测试中，各同学体测得分为 x i ，所有同学的体测平均得分为 ，标准差为 s ，定义标准分数 ，则（ ） A. 转化标准分数后的极差是转化前极差的 B. 转化标准分数后的平均分数为 0 C. 转化标准分数后的中位数是转化前中位数的 D. 转化标准分数后的标准差等于 1 11. 已知双曲线 C ： 的离心率为 ， F 1 ， F 2 是 C 的左 ､ 右焦点 . 经过 F 2 的直线 l 与 C 的一条渐近线垂直，且与 C 交于 A ， B 两点，则（ ） A. C 的渐近线方程为 B. 点 F 1 到直线 l 的距离为 2 a C. D. 12. 设实数 a ， b ， c 都不 零，且 ， ，则（ ） A. B. C. D. 三 ､ 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 展开式中的常数项为 6 ，则 a = ___________ . 14. 甲 ､ 乙两个机器人分别从相距 70 两处同时相向运动，甲第 1 分钟走 2 ，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 ，乙每分钟走 5 . 若甲 ､ 乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过 ___________ 分钟 . 15. 已知正方体 棱长为 1 ， 是 上一点，且 . 经过点 作平面 截正方体的外接球，则截得的截面面积的最小值为 ______ 16. 设 ， ， O 为坐标原点，若 ，且 的面积是 的面积的 2 倍，则 ___ 四 ､ 解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明 ､ 证明过程或演算步骤 . 17. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 . （1） 证明： ； （2） 若 ，求 的面积 . 18. 已知数列 { a n } 满足 . （1） 证明：数列 是等差数列，并求数列 { a n } 的通项公式； （2） 设数列 { a n } 的前 n 项的积为 T n ，证明： . 19. 如图，在多面体 ABCDE 中，已知平面 AEC ⊥平面 ABC ，△ AEC 是边长为 2 的正三角形， AB ⊥ BC ，∠ CAB = ∠ CAE ，四边形 ABDE 为平行四边形 . （1） 求多面体 ABCDE 的体积； （2） 求直线 AD 与平面 CDE 所成角的正弦值 . 20. 某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设 A =“ 患有地方性疾