内蒙古呼和浩特市2024届高三下学期第一次质量数据监测试题（一模）数学（理） .docx

2024 年呼和浩特市高三年级第一次质量数据监测 理科数学 注意事项： 1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分 . 答卷前考生务必将自己的姓名 ､考生号､座位号涂写在答题卡上 . 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 2. 回答第 I 卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 写在本试卷上无效 . 3. 答题 Ⅱ 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 . 4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回 . 第 I 卷 一 ､选择题 ：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若复数 ，则 （ ） A. B. C.-1 D.0 3. 在寒假中，某小组成员去参加社会实践活动，已知该组成员有 4 个男生 ､ 2 个女生，现将他们分配至两个社区，保证每个社区有 2 个男生 ､ 1 个女生，则不同的分配方法有（ ）种 . A.6 B.9 C.12 D.24 4. 小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方 3 米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方 1 米处 . （ ） A.1.73 B.1.41 C.2.24 D.2.45 5. 已知样本数据 的平均数为 ､方差为 ，若样本数据 ， 的平均数为 ，方差为 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ） A.110 B.200 C.65 D.155 7. 小明将一颗实心玻璃球不小心掉人装满水的烧杯中，全部掉 入 后导致溢出部分水，将球通过工具取出后，发现烧杯中的水比之前少 ，不计取球过程中的损耗，若此时小明将此球放入一个三棱锥容器中，当球与三棱锥的四个面都相切时，此三棱锥的体积与表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 在区间 上有且仅有两条对称轴，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 用一个圆心角为 ，面积为 的扇形 （ 为圆心）围成一个圆锥（点 恰好重合），该圆锥顶点为 ，底面圆的直径为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在 中， 为线段 的一个三等分点， . 连接 ，在线段 上任取一点 ，连接 ，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在 上的函数 ，满足不等式 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知双曲线 ，在双曲线 上任意一点 处作双曲线 的切线 ，交 在第一 ､四象限的渐近线分别于 两点 . 当 时，该双曲线的离心率为（ ） A. B.8 C. D. 第 Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 -21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22 题 - 第 23 题为选考题，考生根据 需求 作答 . 二 ､填空题 ：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 若实数 满足 ，则 的最小值为 __________. 14. 已知椭圆 与直线 交于 两点，且线段 的中点为 ，则椭圆 的方程为 __________. 15. 已知 ，若直线 与 有 个交点 ，则 __________. 16. 已知函数 ，若对于 上任意两个不相等的数 都满足 . 则实数 的取值范围是 __________. 三 ､解答题 ：共 70 分，解答应写出文字说明 ､证明过程或演算步骤 . （一）必考题：共 60 分 . 17. 在 中， 分别为边 所对的角，且满足 . （ 1 ）求 的大小； （ 2 ） 的角平分线 交 边于点 ， 当 时，求 . 18. 已知菱形 满足 ，将 沿 折起，使得 . （ 1 ）求证：平面 平面 ； （ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值 . 19. 甲 ､乙､丙三名高中生进行传球训练 . 第一次由甲将球传出，传给乙的概率是 ，传给 丙 的概率是 ；乙传给甲和丙的概率都是 ； 丙 传给甲和乙的概率地都是 . 如此不停地传下去且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第一次触球者，第 次触球者是甲的概率记为 . （ 1 ）求 ； （ 2 ）证明： 为等比数列 . 20. 已知函数 . （ 1 ）求 在 处的切线方程 ，并证明 的图象在直线 的上方； （ 2 ）若 有两个不相等的实数根 ，求证： . 21. 已知抛物线 上任意一点 满足 的最小值为 （ 为焦点） . （ 1 ）求 的方程； （ 2 ）过点 的直线经过 点且 与 物线交于 两点，求证： ； （ 3 ）过 作一条倾斜角为 的直线 . 交抛物线于 两点，过 分別作抛物线的切线 . 两条切线交于 点，过 任意 作一条直线交抛物线于 ，交直线 于点 ，则 满足什么关系？并证明 . （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22 ､ 23 题中任选一题作答 . 如果多做，则按所做的第一题计分 . 22. 以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，从极点 作射线 ，交射线 于 点 为射线 上的点 . 且 点的轨迹方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数） . （ 1 ）求 的极坐标方程； （ 2