宁夏回族自治区银川一中2022-2023学年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题(含参考答案)

理科数学 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下四个写法中：① ；② ；③ ；④ ，正确的个数有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知复数 与 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知命题 ， ，则 的否定为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知点 ，则满足下列关系式的动点 的轨迹是双曲线 的上支的是（ ） A. B. C. D. 5. 祖暅是我国南北朝时代伟大 科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理： “ 幂势既同，则积不容异 ”. 意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理 . 利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为 的平面截该几何体，则截面面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 ，对任意 ，都有 成立，则 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 为等比数列， 是它的前 n 项和．若 ，且 与 的等差中项为 ，则 等于（ ） A. 37 B. 35 C. 31 D. 29 8. 为落实 “ 二十大 ” 不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱 OA 的顶端 A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点 B 离地面 4m ，点 B 到管柱 OA 所在直线的距离为 2m ，且水流落在地面上以 O 为圆心， 6m 为半径的圆内，则管柱 OA 的高度为（ ） A. 2m B. 3m C. 2.5m D. 1.5m 9. 如图所示的直角坐标系中，角 ( ) 、角 ( ) 的终边分别交单位圆于 两点，若 点的纵坐标为 ，且满足 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 10. 长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是 ，夏季来的概率是 ，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 ，若 ，其中 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在三棱锥 中，侧棱 平面 ， ， ，侧棱 与平面 所成的角为 45° ， 为 的中点， 是侧棱 上一动点，当 的面积最小时，异面直线 与 所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知 的展开式中，二项式系数之和为 64 ，则展开式中常数项为 ______ ． 14. 经过点 ，且被圆 所截得的弦最短时的直线 的斜率为 ________ ． 15. 已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则 的最小值为 __________ ． 16. 等腰直角 的斜边 的端点分别在 ， 的正半轴上移动（点 与原点 在 两侧 ）， ，若点 为 中点，则 的取值范围是 ______ . 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． 17. 近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展，某城市推出了两套方案，并分别在 A ， B 两个大型居民小区内试行，方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作，建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类，经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了 100 名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分 100 分），将数据分成 6 组 ， ， ， ， ， ，并整理得到如下频率分布直方图： （1） 请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表） （2） 以样本频率估计概率，若满意度得分不低于 70 分说明居民赞成推行此方案，低于 70 分说明居民不太赞成推行此方案．现从 B 小区内随机抽取 5 个人，用 X 表示赞成该小区推行方案 人数，求 X 的分布列及数学期望 18. 如图，在四棱锥 P – ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ， AD ⊥ CD ， AD ∥ BC ， PA = AD = CD =2 ， BC =3 ． E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 ． （Ⅰ）求证： CD ⊥平面 PAD ； （Ⅱ）求二面角 F–AE–P 的余弦值； （Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且 ．判断直线 AG 是否在平面 AEF 内