福建龙岩市2022-2023学年高三下学期5月教学质量检测数学试题(含参考答案)

龙岩市 2023 年高中毕业班五月教学质量检测 数学试题参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C D B C C A B B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 题号 9 10 11 12 选项 B C B C A B A CD 8 ．简解 : 由 得： 又因为 ， ，所以 ， 所以数列 为等差数列，且首项为 ，公差也为 3 ， 则 ， 所以 ， 要使 为数列 的唯一最小项，则 ，所以 ．故选 B. 12 ． 简解 : 当 时， ， 当 时， ．∴ A 正确 . 当 ＝ 0 时，若 ，则 ∴ B 错误 . 当 ＝ 1 时， ， 令 ，则 当 时， ， 递增，又 ， 所以 上存在唯一的零点 则 在 上递减，在 上递增 是 在区间 上的唯一极小值点 ∴ C 正确 . 由上可知 递减， ， 在 递增， ，使 ， 当 时， ， 递减，当 时， ， 递增， 又 ，得 上有一个零点 . 当 时， 递增， 为其一个零点 . 当 时， ， ∴ D 正确 . ∴选 ACD. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ． 14 ． 或 或 或 （写出其中一个即可） 15 ． 16 ． 16 ． 简 解 : 设椭圆 的右焦点为 ，在 中，由余弦定理得： ① 在 中，由余弦定理得： ② 由 ① 得： ，化简得： ③ 由②得： ④ 把④代入 ③ 化简得： 又 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分． 17 ．（本题满分 10 分） 解：（ 1 ） ∵ 是等差数列， ，∴ , 即： ，∴ ， 1 分 ∴ 3 分 又 ， 5 分 当 时， ，符合上式 , ∴ . 6 分 （ 2 ） 由（ 1 ）可得： , 8 分 ∴ . 10 分 18 ．（本题满分 12 分） 解：（ 1 ）因为 ， 所以 1 分 由正弦定理得 3 分 由余弦定理得 5 分 即 ，因为 ，所以 6 分 解法一： 由（ 1 ）知 ， 的图象向右平移 个单位得 的图 象， 再把所得图象向上平移 个单位长度 , 得到 的图象 ， 8 分 所以 . 令 ，则 ， ， 在 上恰有两个极值点， 由 的图象可知， ， ， 所以 的取值范围是 . 12 分 解法二： 由（ 1 ）知 ， 的图象向右平移 个单位得 的图象， 再把所得图象向上平移 个单位长度 , 得到 的图象 ， 8 分 所以 ， . 令 得 即 , ， ，所以 ， 所以 的取值范围是 . 12 分 19 ．（本题满分 12 分） 解：（ 1 ） 解（ 1 ）∵ 为圆 的直径， 是圆 上异于 的点， 故 ， 1 分 又 又 3 分 ∵ ， 平面 4 分 平面 ，∴平面 平面 ． 5 分 （注：也可以由 ，证明 ≌ ，得出 ） （ 2 ）设 为 的中点，连接 ，则 ， 由（ 1 ）可知， 平面 ；所以 ∵ ，∴ 平面 ， 又∵ 如图以 为原点，分别以 所在 直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 6 分 由题意可得 ， ， ， ∵ 平面 ，∴ // ，四边形 为矩形，∴    设平面 的一个法向量为 ， 由 得 取 8 分 设平面 的一个法向量为 ， ， 由      得     取 10 分 设平面 与平面 的夹角为 则 ∴平面 和平面 夹角的余弦值为 . 12 分 20 ．（本题满分 12 分） 解：（ 1 ） 2 分 由 ， 得： 5 分 （ 2 ） （ i ）设 “随机抽取一件该企业生产的该 零件 为 废品 ”， “随机抽取一件 零件 为第 1 条生产线生产”， “随机抽取一件 零件 为第 2 条生产线生产”， 则 ， ， 7 分 又 ， ， 于是 ． 9 分 （ ii ） ． 12 分 21 ．（本题满分 12 分） 解：（ 1 ）函数 的定义域为 ， ∵ ∴ 2 分 ∵ ∴当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， ∴ 当 时， 取得极大值，极大值为 ，没有极小值 . 4 分 （ 2 ） 由 可化为 又函数 为单调递增函数 则由 可得： ，即 令 , ， 则 得： ， 则 6 分 令 则 令 则 8 分 ， 单调递增 单调递增 此时， 不存在最小值，即 不存在最小值 9 分 当 时 , 单调递减， 时， ， 单调递增 又 ，使 ，当 时， ，当 时， 即当 时， ， 单调递减 当 时， ， 单调递增 此时，当 时， 最小，即 有最小值 综上， 12 分 22 ．（本题满分 12 分） 解： 方法一：（ 1 ）由题知 , ，∴ 的方程为： ， 2 分 显然直线 的斜率存在，设直线 ， 联立 ，得 ， 设直线 的斜率分别为 ，则 ， 故 又 不过点 所以直线 过定点 ． 5 分 （ 2 ）设 : ，由 得： ∴ ∴ ∴ 7 分 同理： ∴ ① 8 分 由 可知， ，设 ， 9 分 则 ∴ ，② ∴ ，③ ①代入②得： ，④ ④代入③得： 由 当且仅当 时， 取得最大值 12 分 方法二：（ 1 ）由题知 , ，∴ 的方程为： 2 分 设直线 ， ， 由 ： 得 ， 所以 ， 设直线 的斜率分别为 ，则 ， 故 是方程 的两根， 因为直线 的斜率之和为 ，所以 ，所以 ， 所以直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ． 5 分 （ 2 ）设直线 ． 由 ，得 ． 由 ，得 ． 7 分 故 ，同理 ． 9 分 由 可知， ， 故 ． 10 分 因为 ， ，化简得 ． 当 时取等号，所以直线 的斜率的最大值为 ． 12 分